福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二-0002
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.R中任一非空開(kāi)集是可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間之并.
2.f,g∈M(X),則fg∈M(X).
3.若f_n與g_n分別測(cè)度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.
4.若f可測(cè)，則|f|可測(cè)，反之也成立.
5.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對(duì)所有k取交集非空.
6.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。
7.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
8.若|f|和f^2都是有界變差，則f為有界變差.
9.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
10.函數(shù)f在[a,b]上為常數(shù)的充要條件是f在[a,b]上絕對(duì)連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.
11.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)是一類特殊的連續(xù)有界變差函數(shù)。
12.可數(shù)個(gè)G_delta集之交和有限個(gè)G_delta集之并仍是G_delta集，但可數(shù)個(gè)G_delta集之并未必仍是G_delta集
13.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
14.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
15.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
16.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。
17.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
19.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
20.測(cè)度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積.
21.設(shè)f:R->R可測(cè)，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
22.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
23.g的連續(xù)點(diǎn)是L點(diǎn)，但L點(diǎn)未必是連續(xù)點(diǎn).
24.集合A可測(cè)等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測(cè)
25.可數(shù)集的測(cè)度必為零，反之也成立.
26.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價(jià)于f,h,g∈BV.
27.當(dāng)f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時(shí)，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
28.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
29.有界可測(cè)集的測(cè)度為有限數(shù)，無(wú)界可測(cè)集的測(cè)度為+∞
30.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
31.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.
32.若對(duì)任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測(cè)，則f為可測(cè)函數(shù).
33.對(duì)任意可測(cè)集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.
34.零測(cè)度集的任何子集都是可測(cè)集.
35.若f_n測(cè)度收斂于f，則1/f_n也測(cè)度收斂于1/f.
36.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開(kāi)覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
37.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.fn->f,a.e.,則
A.fn依測(cè)度收斂于f
B.fn幾乎一致收斂于f
C.fn一致收斂于f
D.|fn|->|f|,a.e.
39.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.充分條件
B.必要條件
C.充要條件
D.非充分非必要條件
40.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.連續(xù)函數(shù)
B.單調(diào)函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
41.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A.Ac為稠集
B.A為開(kāi)集
C.A為孤立點(diǎn)集
D.A不完備
42.有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是（ ）
A.有限集
B.可數(shù)集
C.有連續(xù)統(tǒng)勢(shì)的集
D.基數(shù)為2^c的集
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A.f為有界函數(shù)
B.Vax(f)為增函數(shù)
C.對(duì)任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可數(shù)個(gè)第一類間斷點(diǎn)
44.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測(cè)函數(shù)
B.不是L可測(cè)函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
45.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A.f∈C[a,b]
B.f∈BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D.f∈Lip[a,b]
46.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）
A.f在R上處處不連續(xù)
B.f在R上為可測(cè)函數(shù)
C.f幾乎處處連續(xù)
D.f不是可測(cè)函數(shù)
47.若f不可測(cè)，g可測(cè)，則下列正確的是（ ）
A.f+g不可測(cè)
B.fg不可測(cè)
C.g^2可測(cè)
D.|g|可測(cè)
48.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A.幾乎處處可微
B.L可積
C.f'可積
D.區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
49.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A.f+g有界變差函數(shù)
B.fg有界變差函數(shù)
C.f/g有界變差函數(shù)
D.max(f,g)有界變差函數(shù)
50.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A.有界函數(shù)
B.可測(cè)函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
奧鵬，國(guó)開(kāi)，廣開(kāi)，電大在線，各省平臺(tái)，新疆一體化等平臺(tái)學(xué)習(xí)
詳情請(qǐng)咨詢QQ : 3230981406或微信:aopopenfd777
