福師《實變函數(shù)》在線作業(yè)二-0002
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.R中任一非空開集是可數(shù)個互不相交的開區(qū)間之并.
2.f,g∈M(X),則fg∈M(X).
3.若f_n與g_n分別測度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.
4.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
5.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
6.若f∈BV當且僅當f是兩個增函數(shù)之差。
7.若f廣義R可積且f不變號，則f L可積.
8.若|f|和f^2都是有界變差，則f為有界變差.
9.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
10.函數(shù)f在[a,b]上為常數(shù)的充要條件是f在[a,b]上絕對連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.
11.絕對連續(xù)函數(shù)是一類特殊的連續(xù)有界變差函數(shù)。
12.可數(shù)個G_delta集之交和有限個G_delta集之并仍是G_delta集，但可數(shù)個G_delta集之并未必仍是G_delta集
13.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
14.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
15.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
16.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對收斂級數(shù)各項可以任意重排。
17.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
19.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
20.測度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積.
21.設f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
22.f∈BV，則f至多有可數(shù)個間斷點，而且只能有第一類間斷點.
23.g的連續(xù)點是L點，但L點未必是連續(xù)點.
24.集合A可測等價于該集合的特征函數(shù)X_A可測
25.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
26.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價于f,h,g∈BV.
27.當f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
28.f∈BV，則f有“標準分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負變差.
29.有界可測集的測度為有限數(shù)，無界可測集的測度為+∞
30.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
31.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
32.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
33.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
34.零測度集的任何子集都是可測集.
35.若f_n測度收斂于f，則1/f_n也測度收斂于1/f.
36.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
37.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.fn->f,a.e.,則
A.fn依測度收斂于f
B.fn幾乎一致收斂于f
C.fn一致收斂于f
D.|fn|->|f|,a.e.
39.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.充分條件
B.必要條件
C.充要條件
D.非充分非必要條件
40.設g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.連續(xù)函數(shù)
B.單調(diào)函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
41.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A.Ac為稠集
B.A為開集
C.A為孤立點集
D.A不完備
42.有限個可數(shù)集的乘積集是（ ）
A.有限集
B.可數(shù)集
C.有連續(xù)統(tǒng)勢的集
D.基數(shù)為2^c的集
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A.f為有界函數(shù)
B.Vax(f)為增函數(shù)
C.對任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可數(shù)個第一類間斷點
44.設E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測函數(shù)
B.不是L可測函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
45.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A.f∈C[a,b]
B.f∈BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D.f∈Lip[a,b]
46.在R上定義f，當x為有理數(shù)時f(x)=1，當x為無理數(shù)時f(x)=0，則（ ）
A.f在R上處處不連續(xù)
B.f在R上為可測函數(shù)
C.f幾乎處處連續(xù)
D.f不是可測函數(shù)
47.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A.f+g不可測
B.fg不可測
C.g^2可測
D.|g|可測
48.設f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A.幾乎處處可微
B.L可積
C.f'可積
D.區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
49.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A.f+g有界變差函數(shù)
B.fg有界變差函數(shù)
C.f/g有界變差函數(shù)
D.max(f,g)有界變差函數(shù)
50.設f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A.有界函數(shù)
B.可測函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
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