福師《實變函數(shù)》在線作業(yè)一-0001
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.積分的四條基本性質(zhì)構(gòu)成整個積分論的基礎(chǔ)，而其導出性質(zhì)是基本性質(zhì)的邏輯推論。
2.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
3.f∈BV，則f有“標準分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負變差.
4.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
5.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
6.f可積的充要條件:|f|可積。
7.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
8.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個間斷點，且只能有第一類間斷點.
9.設(shè)f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
10.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
11.一致收斂的絕對連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對連續(xù)函數(shù).
12.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導函數(shù)可積。
13.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
14.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).
15.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。
16.三大積分收斂定理是實變函數(shù)論的基本結(jié)果。
17.集合A可測等價于該集合的特征函數(shù)X_A可測
18.存在[0,1]上的有界可測函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．
19.零測度集的任何子集都是可測集.
20.有界可測集的測度為有限數(shù)，無界可測集的測度為+∞
21.f在E上可積的充要條件是級數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.
22.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
23.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
24.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
25.對R^n中任意點集E，E\E'必為可測集.
26.有界可測函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
27.無論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
28.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
29.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個互不相交的開區(qū)間后所得之集.
30.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)。
31.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點.
32.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
33.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
34.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
35.當f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
36.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f'∈L1[a,b].
37.若f∈BV,則f有界。
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.當A或C為無限集時，|A∪C|=|B∪D|
39.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.充分條件
B.必要條件
C.充要條件
D.非充分非必要條件
40.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.連續(xù)函數(shù)
B.單調(diào)函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
41.開集減去閉集其差集是（ ）
A.閉集
B.開集
C.非開非閉集
D.既開既閉集
42.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A.Ac為稠集
B.A為開集
C.A為孤立點集
D.A不完備
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
44.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A.幾乎處處可微
B.L可積
C.f'可積
D.區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
45.設(shè)fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A.fn測度收斂于|f|
B.afn+bgn測度收斂于af+bg
C.(fn)^2測度收斂于f^2
D.fngn測度收斂于fg
46.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A.g可積
B.g可測
C.g<∞，a.e.
D.當g可測時g必可積
47.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上
A.有L積分值
B.廣義R可積
C.L可積
D.積分具有絕對連續(xù)性
48.設(shè)E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測函數(shù)
B.不是L可測函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
49.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A.f∈C[a,b]
B.f∈BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D.f∈Lip[a,b]
50.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A.有界函數(shù)
B.可測函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
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