福師《實變函數(shù)》在線作業(yè)二-0004
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
2.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
3.對R^n中任意點集E，E\E'必為可測集.
4.當f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
5.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).
6.有界可測函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
7.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
8.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點.
9.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
10.設f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
11.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
12.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
13.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
14.設f為[a,b]上增函數(shù)，則存在分解f=g+h，其中g是上一個連續(xù)增函數(shù)，h是f的跳躍函數(shù).
15.積分的四條基本性質構成整個積分論的基礎，而其導出性質是基本性質的邏輯推論。
16.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)。
17.f在[a,b]上為增函數(shù)，則f的導數(shù)f'∈L1[a,b].
18.f,g∈M(X),則fg∈M(X).
19.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
20.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
21.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
22.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
23.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
24.若f廣義R可積且f不變號，則f L可積.
25.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f'∈L1[a,b].
26.測度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積.
27.若f∈BV,則f有界。
28.若A交B等于空集，則A可測時必B可測.
29.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).
30.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個增函數(shù)之差，可將關于單調函數(shù)的一些結論轉移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導函數(shù)可積。
31.集合A可測等價于該集合的特征函數(shù)X_A可測
32.f可積的充要條件:|f|可積。
33.若f∈AC，則f是連續(xù)的有界變差函數(shù)，即f∈C∩BV.
34.三大積分收斂定理是積分論的中心結果。
35.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
36.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
37.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.有限個可數(shù)集的乘積集是（ ）
A.有限集
B.可數(shù)集
C.有連續(xù)統(tǒng)勢的集
D.基數(shù)為2^c的集
39.下列關系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
40.開集減去閉集其差集是（ ）
A.閉集
B.開集
C.非開非閉集
D.既開既閉集
41.在（ ）條件下，E上的任何廣義實函數(shù)f(x)都可測.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
42.設g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.連續(xù)函數(shù)
B.單調函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.設E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測函數(shù)
B.不是L可測函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
44.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A.f可測
B.|f|可積
C.f^2可積
D.|f|<∞.a.e.
45.A，B是兩個集合，則下列正確的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
46.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
47.設fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A.fn測度收斂于|f|
B.afn+bgn測度收斂于af+bg
C.(fn)^2測度收斂于f^2
D.fngn測度收斂于fg
48.設E1，E2是R^n中測度有限的可測集，則
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
49.在R上定義f，當x為有理數(shù)時f(x)=1，當x為無理數(shù)時f(x)=0，則（ ）
A.f在R上處處不連續(xù)
B.f在R上為可測函數(shù)
C.f幾乎處處連續(xù)
D.f不是可測函數(shù)
50.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A.f為有界函數(shù)
B.Vax(f)為增函數(shù)
C.對任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可數(shù)個第一類間斷點
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