福師《實變函數》在線作業(yè)一-0002
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.一致收斂的有界變差函數序列的極限函數也是有界變差函數.
2.測度收斂的L可積函數列，其極限函數L可積.
3.若f∈BV當且僅當f是兩個增函數之差。
4.測度為零的集稱為零測集.
5.f在[a,b]上為增函數，則f的導數f'∈L1[a,b].
6.函數f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
7.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
8.f在E上可積的充要條件是級數 M[E(|f|>=n)]之和收斂.
9.不存在這樣的函數f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
10.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點.
11.對R^n中任意點集E，E\E'必為可測集.
12.積分的四條基本性質構成整個積分論的基礎，而其導出性質是基本性質的邏輯推論。
13.增函數f在[a,b]上至多有可數個間斷點，且只能有第一類間斷點.
14.積分的引進分為三個遞進的步驟：非負簡單函數的積分，非負可測函數的積分，一般可測函數的積分.
15.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
16.f∈BV，則f有“標準分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負變差.
17.三大積分收斂定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收斂定理。
18.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
19.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
20.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
21.可數個G_delta集之交和有限個G_delta集之并仍是G_delta集，但可數個G_delta集之并未必仍是G_delta集
22.若曲線L由參數方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價于f,h,g∈BV.
23.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f'∈L1[a,b].
24.連續(xù)函數和單調函數都是有界變差函數.
25.設f是區(qū)間[a,b]上的有界實函數，則f在[a,b]上R可積，當且僅當f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
26.函數f在[a,b]上為常數的充要條件是f在[a,b]上絕對連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.
27.若f,g∈BV，則|f|,f+,f-,f∧g,f∨g屬于BV。
28.無論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
29.存在某區(qū)間[a,b]上增函數f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
30.若A交B等于空集，則A可測時必B可測.
31.零測度集的任何子集都是可測集.
32.設f為[a,b]上增函數，則存在分解f=g+h，其中g是上一個連續(xù)增函數，h是f的跳躍函數.
33.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數個互不相交的開區(qū)間后所得之集.
34.f為[a,b]上減函數，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
35.集合A可測等價于該集合的特征函數X_A可測
36.當f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
37.若f_n與g_n分別測度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.下列關系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
39.有限個可數集的乘積集是（ ）
A.有限集
B.可數集
C.有連續(xù)統(tǒng)勢的集
D.基數為2^c的集
40.fn->f,a.e.,則
A.fn依測度收斂于f
B.fn幾乎一致收斂于f
C.fn一致收斂于f
D.|fn|->|f|,a.e.
41.在（ ）條件下，E上的任何廣義實函數f(x)都可測.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
42.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A.Ac為稠集
B.A為開集
C.A為孤立點集
D.A不完備
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.設E1，E2是R^n中測度有限的可測集，則
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),則f(x)在(0,+∞)上
A.廣義R可積
B.不是廣義R可積
C.L可積
D.不是L可積
45.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A.f+g不可測
B.fg不可測
C.g^2可測
D.|g|可測
46.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A.f為有界函數
B.Vax(f)為增函數
C.對任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可數個第一類間斷點
47.設f為[a,b]上增函數，則f為（ ）
A.幾乎處處可微
B.L可積
C.f'可積
D.區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
48.設E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數是
A.是L可測函數
B.不是L可測函數
C.有界函數
D.連續(xù)函數
49.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
50.若f,g是有界變差函數，則（ ）
A.f+g有界變差函數
B.fg有界變差函數
C.f/g有界變差函數
D.max(f,g)有界變差函數
奧鵬，國開，廣開，電大在線，各省平臺，新疆一體化等平臺學習
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