福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一-0003
試卷總分:100 得分:100
一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)
1.有界可測集的測度為有限數(shù)，無界可測集的測度為+∞
2.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
3.集合A可測等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測
4.若f,g∈BV，則|f|,f+,f-,f∧g,f∨g屬于BV。
5.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
6.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價(jià)于f,h,g∈BV.
7.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。
8.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。
9.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).
10.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
11.若|f|和f^2都是有界變差，則f為有界變差.
12.若f∈AC，則f是連續(xù)的有界變差函數(shù)，即f∈C∩BV.
13.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測度集.
14.積分的引進(jìn)分為三個(gè)遞進(jìn)的步驟：非負(fù)簡單函數(shù)的積分，非負(fù)可測函數(shù)的積分，一般可測函數(shù)的積分.
15.三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本結(jié)果。
16.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
17.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測。
18.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
19.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，且只能有第一類間斷點(diǎn).
20.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
21.連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù).
22.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
23.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
24.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
25.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
26.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
27.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
28.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
29.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
30.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
31.f可積的充要條件:|f|可積。
32.g的連續(xù)點(diǎn)是L點(diǎn)，但L點(diǎn)未必是連續(xù)點(diǎn).
33.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
34.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。
35.f在E上可積的充要條件是級(jí)數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.
36.零測度集的任何子集都是可測集.
37.f在[a,b]上為增函數(shù)，則f的導(dǎo)數(shù)f'∈L1[a,b].
二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)
38.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.連續(xù)函數(shù)
B.單調(diào)函數(shù)
C.有界變差函數(shù)
D.絕對連續(xù)函數(shù)
39.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.當(dāng)A或C為無限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|
40.若f∈L(X),則
A.f在X上幾乎處處連續(xù)
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
41.有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是（ ）
A.有限集
B.可數(shù)集
C.有連續(xù)統(tǒng)勢的集
D.基數(shù)為2^c的集
42.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)
43.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
44.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）
A.f在R上處處不連續(xù)
B.f在R上為可測函數(shù)
C.f幾乎處處連續(xù)
D.f不是可測函數(shù)
45.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A.f+g有界變差函數(shù)
B.fg有界變差函數(shù)
C.f/g有界變差函數(shù)
D.max(f,g)有界變差函數(shù)
46.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A.f可測
B.|f|可積
C.f^2可積
D.|f|<∞.a.e.
47.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測集，則其特征函數(shù)是
A.是L可測函數(shù)
B.不是L可測函數(shù)
C.有界函數(shù)
D.連續(xù)函數(shù)
48.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A.f+g不可測
B.fg不可測
C.g^2可測
D.|g|可測
49.A，B是兩個(gè)集合，則下列正確的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
50.設(shè)fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A.fn測度收斂于|f|
B.afn+bgn測度收斂于af+bg
C.(fn)^2測度收斂于f^2
D.fngn測度收斂于fg
奧鵬，國開，廣開，電大在線，各省平臺(tái)，新疆一體化等平臺(tái)學(xué)習(xí)
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