福師23春《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二【資料答案】

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發(fā)布時(shí)間:2023-05-03 20:53:42來源:admin瀏覽: 0 次

福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二-0003

試卷總分:100  得分:100

一、判斷題 (共 37 道試題,共 74 分)

1.f∈BV,則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.

 

2.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。

 

3.設(shè)f是區(qū)間[a,b]上的有界實(shí)函數(shù),則f在[a,b]上R可積,當(dāng)且僅當(dāng)f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).

 

4.f為[a,b]上減函數(shù),則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

 

5.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f,使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .

 

6.當(dāng)f在[a,b]上R可積時(shí)也必L可積,而且兩種積分值相等.

 

7.若f廣義R可積且f不變號(hào),則f L可積.

 

8.若對(duì)任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測(cè),則f為可測(cè)函數(shù).

 

9.可數(shù)集的測(cè)度必為零,反之也成立.

 

10.若f有界且m(X)<∞,則f可測(cè)。

 

11.三大積分收斂定理包括Levi定理,F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。

 

12.對(duì)任意可測(cè)集E,若f在E上可積,則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.

 

13.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R,則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間后所得之集.

 

14.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。

 

15.若f_n測(cè)度收斂于f,g連續(xù),則g(f_n)也測(cè)度收斂于g(f).

 

16.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。

 

17.R中任一非空開集是可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并.

 

18.f可積的必要條件:f幾乎處處有限,且集X(f≠0)有sigma-有限測(cè)度。

 

19.一致收斂的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對(duì)連續(xù)函數(shù).

 

20.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。

 

21.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上R可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.

 

22.對(duì)R^n中任意點(diǎn)集E,E\E'必為可測(cè)集.

 

23.若f∈C1[a,b](連續(xù)可微),則f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].

 

24.存在[0,1]上的有界可測(cè)函數(shù),使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等.

 

25.f可積的充要條件:|f|可積。

 

26.不存在這樣的函數(shù)f:在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .

 

27.f∈BV,則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn),而且只能有第一類間斷點(diǎn).

 

28.若f可測(cè),則|f|可測(cè),反之也成立.

 

29.若f有界變差且g滿足Lip條件,則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.

 

30.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù),則存在分解f=g+h,其中g(shù)是上一個(gè)連續(xù)增函數(shù),h是f的跳躍函數(shù).

 

31.有限覆蓋定理的內(nèi)容是:若U是R^n中緊集F的開覆蓋,則可以從U中取出有限子覆蓋.

 

32.f∈BV,則f幾乎處處可微,且f'∈L1[a,b].

 

33.若f,g∈AC,則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。

 

34.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測(cè)。

 

35.L積分比R積分更廣泛,且具有優(yōu)越性。

 

36.若f∈BV,則f有界。

 

37.有界可測(cè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).

 

二、單選題 (共 5 道試題,共 10 分)

38.若f&isin;L(X),則

A.f在X上幾乎處處連續(xù)

B.存在g&isin;L(X)使得|f|<=g

C.若&int;Xfdu=0,則f=0,a.e.

 

39.開集減去閉集其差集是( )

A.閉集

B.開集

C.非開非閉集

D.既開既閉集

 

40.若|A|=|B|,|C|=|D|,則

A.|A∪C|=|B∪D|

B.|A∩C|=|B∩D|

C.|A\C|=|B\D|

D.當(dāng)A或C為無限集時(shí),|A∪C|=|B∪D|

 

41.fn->f,a.e.,則

A.fn依測(cè)度收斂于f

B.fn幾乎一致收斂于f

C.fn一致收斂于f

D.|fn|->|f|,a.e.

 

42.下列關(guān)系式中不成立的是( )

A.f(&cup;Ai)=&cup;f(Ai)

B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)

C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0

D.(&cup;Ai)c=&cap;(Aic)

 

三、多選題 (共 8 道試題,共 16 分)

43.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集,則其特征函數(shù)是

A.是L可測(cè)函數(shù)

B.不是L可測(cè)函數(shù)

C.有界函數(shù)

D.連續(xù)函數(shù)

 

44.若f(x)為L(zhǎng)ebesgue可積函數(shù),則( )

A.f可測(cè)

B.|f|可積

C.f^2可積

D.|f|<∞.a.e.

 

45.在R上定義f,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1,當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)f(x)=0,則( )

A.f在R上處處不連續(xù)

B.f在R上為可測(cè)函數(shù)

C.f幾乎處處連續(xù)

D.f不是可測(cè)函數(shù)

 

46.若0<=g<=f且f可積,則( )

A.g可積

B.g可測(cè)

C.g<∞,a.e.

D.當(dāng)g可測(cè)時(shí)g必可積

 

47.設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g,則( )

A.fn測(cè)度收斂于|f|

B.afn+bgn測(cè)度收斂于af+bg

C.(fn)^2測(cè)度收斂于f^2

D.fngn測(cè)度收斂于fg

 

48.A,B是兩個(gè)集合,則下列正確的是( )

A.f^-1(f(A))=A

B.f^-1(f(A))包含A

C.f(f^-1(A))=A

D.f(A\B)包含f(A)\f(B)

 

49.若f不可測(cè),g可測(cè),則下列正確的是( )

A.f+g不可測(cè)

B.fg不可測(cè)

C.g^2可測(cè)

D.|g|可測(cè)

 

50.若f,g是有界變差函數(shù),則( )

A.f+g有界變差函數(shù)

B.fg有界變差函數(shù)

C.f/g有界變差函數(shù)

D.max(f,g)有界變差函數(shù)




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