常微分方程學習活動6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習

本課程形成性考核綜合練習共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復(fù)習，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。

一、填空題

1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 ， 的任一非零解在 空間          與x軸相交．

2．方程組 的任何一個解的圖象是          維空間中的一條積分曲線．

3．向量函數(shù)組Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的          條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．

4．線性齊次微分方程組 ，的一個基本解組的個數(shù)不能多于         個．

    5．若函數(shù)組 在區(qū)間 上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式 在區(qū)間 上          ．

    6．函數(shù)組 的朗斯基行列式 是                    ．

    7．二階方程 的等價方程組是                   ．

8．若 和 是二階線性齊次方程的基本解組，則它們        共同零點．

9．二階線性齊次微分方程的兩個解 , 成為其基本解組的充要條件是          ．

    10． 階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為　　     個．

11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上          與x軸橫截相交．

    12．二階線性方程 的基本解組是　　          　　．

    13．線性方程 的基本解組是               ．   

    14．方程 的所有解構(gòu)成一個               維線性空間．

    15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個             維線性空間．

二、計算題

1．將下列方程式化為一階方程組

（1）       

（2）

2．求解下列方程組：

（1）                 （2）    

3．求解下列方程組：

（1）                  （2）         

4．求解下列方程組：

（1）                  （2）   

5．已知方程 的一個解 ，求其通解．

6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解

（1）             （2）

7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：

（1） ， ，  

（2） ， ，

8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：

（1）     

（2）

三、證明題

    1．設(shè) 矩陣函數(shù) ， 在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組  與 有相同的基本解組，則 ? ．

    2．設(shè)在方程 中， 在區(qū)間 上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間 上嚴格單調(diào)函數(shù)．

    3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)．

四、應(yīng)用題

    1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當下沉時，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律。

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