福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)一
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.積分的四條基本性質(zhì)構(gòu)成整個(gè)積分論的基礎(chǔ)，而其導(dǎo)出性質(zhì)是基本性質(zhì)的邏輯推論。
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測(cè)度。
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.對(duì)任意可測(cè)集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對(duì)連續(xù)性.
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.f可積的充要條件:|f|可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.設(shè)f:R->R可測(cè)，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.一致收斂的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對(duì)連續(xù)函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.集合A可測(cè)等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測(cè)
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.存在[0,1]上的有界可測(cè)函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.零測(cè)度集的任何子集都是可測(cè)集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.有界可測(cè)集的測(cè)度為有限數(shù)，無(wú)界可測(cè)集的測(cè)度為+∞
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.f在E上可積的充要條件是級(jí)數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.若f可測(cè)，則|f|可測(cè)，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.可數(shù)集的測(cè)度必為零，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.對(duì)R^n中任意點(diǎn)集E，E\E’必為可測(cè)集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.有界可測(cè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.無(wú)論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間后所得之集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對(duì)所有k取交集非空.
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測(cè)度集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.當(dāng)f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時(shí)，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.若f∈BV,則f有界。
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當(dāng)A或C為無(wú)限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|
2.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、非充分非必要條件
3.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、連續(xù)函數(shù)
B、單調(diào)函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
4.開(kāi)集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開(kāi)集
C、非開(kāi)非閉集
D、既開(kāi)既閉集
5.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A、Ac為稠集
B、A為開(kāi)集
C、A為孤立點(diǎn)集
D、A不完備
三、多選題(共8題，16分)
1.若A 和B都是R中開(kāi)集，且A是B的真子集，則（ ）
A、m(A)<m(B)
B、m(A)<=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
D、m(B)=m(A)+m(B\A)
2.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A、幾乎處處可微
B、L可積
C、f’可積
D、區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
3.設(shè)fn與gn在X上分別測(cè)度收斂于f與g，則（ ）
A、fn測(cè)度收斂于|f|
B、afn+bgn測(cè)度收斂于af+bg
C、(fn)^2測(cè)度收斂于f^2
D、fngn測(cè)度收斂于fg
4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測(cè)
C、g<∞，a.e.
D、當(dāng)g可測(cè)時(shí)g必可積
5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L積分值
B、廣義R可積
C、L可積
D、積分具有絕對(duì)連續(xù)性
6.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測(cè)集，則其特征函數(shù)是
A、是L可測(cè)函數(shù)
B、不是L可測(cè)函數(shù)
C、有界函數(shù)
D、連續(xù)函數(shù)
7.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
8.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A、有界函數(shù)
B、可測(cè)函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)
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