福師《實變函數》在線作業(yè)一
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.積分的四條基本性質構成整個積分論的基礎，而其導出性質是基本性質的邏輯推論。
A、錯誤
B、正確
2.f為[a,b]上減函數，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯誤
B、正確
3.f∈BV，則f有“標準分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負變差.
A、錯誤
B、正確
4.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
A、錯誤
B、正確
5.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
A、錯誤
B、正確
6.f可積的充要條件:|f|可積。
A、錯誤
B、正確
7.三大積分收斂定理是積分論的中心結果。
A、錯誤
B、正確
8.增函數f在[a,b]上至多有可數個間斷點，且只能有第一類間斷點.
A、錯誤
B、正確
9.設f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
A、錯誤
B、正確
10.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
A、錯誤
B、正確
11.一致收斂的絕對連續(xù)函數序列的極限函數也是絕對連續(xù)函數.
A、錯誤
B、正確
12.利用有界變差函數可表示為兩個增函數之差，可將關于單調函數的一些結論轉移到有界變差函數：幾乎處處可微而且導函數可積。
A、錯誤
B、正確
13.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、錯誤
B、正確
14.一致收斂的有界變差函數序列的極限函數也是有界變差函數.
A、錯誤
B、正確
15.若f,g是增函數，則f+g,f-g,fg也是增函數。
A、錯誤
B、正確
16.三大積分收斂定理是實變函數論的基本結果。
A、錯誤
B、正確
17.集合A可測等價于該集合的特征函數X_A可測
A、錯誤
B、正確
18.存在[0,1]上的有界可測函數，使它不與任何連續(xù)函數幾乎處處相等．
A、錯誤
B、正確
19.零測度集的任何子集都是可測集.
A、錯誤
B、正確
20.有界可測集的測度為有限數，無界可測集的測度為+∞
A、錯誤
B、正確
21.f在E上可積的充要條件是級數 M[E(|f|>=n)]之和收斂.
A、錯誤
B、正確
22.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯誤
B、正確
23.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
A、錯誤
B、正確
24.可數集的測度必為零，反之也成立.
A、錯誤
B、正確
25.對R^n中任意點集E，E\E’必為可測集.
A、錯誤
B、正確
26.有界可測函數f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯誤
B、正確
27.無論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
A、錯誤
B、正確
28.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
A、錯誤
B、正確
29.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數個互不相交的開區(qū)間后所得之集.
A、錯誤
B、正確
30.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數為絕對連續(xù)函數。
A、錯誤
B、正確
31.若f∈L1[a,b],則幾乎所有的x屬于[a,b]均是g的L點.
A、錯誤
B、正確
32.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、錯誤
B、正確
33.閉集套定理的內容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
A、錯誤
B、正確
34.函數f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
A、錯誤
B、正確
35.當f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、錯誤
B、正確
36.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯誤
B、正確
37.若f∈BV,則f有界。
A、錯誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當A或C為無限集時，|A∪C|=|B∪D|
2.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、非充分非必要條件
3.設g(x)是[0,1]上的有界變差函數，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、連續(xù)函數
B、單調函數
C、有界變差函數
D、絕對連續(xù)函數
4.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
5.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A、Ac為稠集
B、A為開集
C、A為孤立點集
D、A不完備
三、多選題(共8題，16分)
1.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A、m(A)<m(B)
B、m(A)<=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
D、m(B)=m(A)+m(B\A)
2.設f為[a,b]上增函數，則f為（ ）
A、幾乎處處可微
B、L可積
C、f’可積
D、區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
3.設fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A、fn測度收斂于|f|
B、afn+bgn測度收斂于af+bg
C、(fn)^2測度收斂于f^2
D、fngn測度收斂于fg
4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測
C、g<∞，a.e.
D、當g可測時g必可積
5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L積分值
B、廣義R可積
C、L可積
D、積分具有絕對連續(xù)性
6.設E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數是
A、是L可測函數
B、不是L可測函數
C、有界函數
D、連續(xù)函數
7.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
8.設f為[a,b]上減函數，則f為（ ）
A、有界函數
B、可測函數
C、有界變差函數
D、絕對連續(xù)函數
奧鵬，國開，廣開，電大在線，各省平臺，新疆一體化等平臺學習
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