福師《實變函數》在線作業(yè)二
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.f∈BV，則f有“標準分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負變差.
A、錯誤
B、正確
2.增函數f在[a,b]上幾乎處處可微。
A、錯誤
B、正確
3.設f是區(qū)間[a,b]上的有界實函數，則f在[a,b]上R可積，當且僅當f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯誤
B、正確
4.f為[a,b]上減函數，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯誤
B、正確
5.存在某區(qū)間[a,b]上增函數f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯誤
B、正確
6.當f在[a,b]上R可積時也必L可積，而且兩種積分值相等.
A、錯誤
B、正確
7.若f廣義R可積且f不變號，則f L可積.
A、錯誤
B、正確
8.若對任意有理數r,X(f=r)都可測，則f為可測函數.
A、錯誤
B、正確
9.可數集的測度必為零，反之也成立.
A、錯誤
B、正確
10.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
A、錯誤
B、正確
11.三大積分收斂定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收斂定理。
A、錯誤
B、正確
12.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
A、錯誤
B、正確
13.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數個互不相交的開區(qū)間后所得之集.
A、錯誤
B、正確
14.三大積分收斂定理是積分論的中心結果。
A、錯誤
B、正確
15.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).
A、錯誤
B、正確
16.若f∈BV當且僅當f是兩個增函數之差。
A、錯誤
B、正確
17.R中任一非空開集是可數個互不相交的開區(qū)間之并.
A、錯誤
B、正確
18.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
A、錯誤
B、正確
19.一致收斂的絕對連續(xù)函數序列的極限函數也是絕對連續(xù)函數.
A、錯誤
B、正確
20.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數為絕對連續(xù)函數。
A、錯誤
B、正確
21.函數f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點集為零測度集.
A、錯誤
B、正確
22.對R^n中任意點集E，E\E’必為可測集.
A、錯誤
B、正確
23.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、錯誤
B、正確
24.存在[0,1]上的有界可測函數，使它不與任何連續(xù)函數幾乎處處相等．
A、錯誤
B、正確
25.f可積的充要條件:|f|可積。
A、錯誤
B、正確
26.不存在這樣的函數f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯誤
B、正確
27.f∈BV，則f至多有可數個間斷點，而且只能有第一類間斷點.
A、錯誤
B、正確
28.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
A、錯誤
B、正確
29.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復合函數g(f(x))也是有界變差.
A、錯誤
B、正確
30.設f為[a,b]上增函數，則存在分解f=g+h，其中g是上一個連續(xù)增函數，h是f的跳躍函數.
A、錯誤
B、正確
31.有限覆蓋定理的內容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯誤
B、正確
32.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯誤
B、正確
33.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯誤
B、正確
34.函數f≡C∈[-∞,∞],則f可測。
A、錯誤
B、正確
35.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
A、錯誤
B、正確
36.若f∈BV,則f有界。
A、錯誤
B、正確
37.有界可測函數f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若f∈L(X),則
A、f在X上幾乎處處連續(xù)
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
2.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當A或C為無限集時，|A∪C|=|B∪D|
4.fn->f,a.e.,則
A、fn依測度收斂于f
B、fn幾乎一致收斂于f
C、fn一致收斂于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.下列關系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多選題(共8題，16分)
1.設E為R^n中的一個不可測集，則其特征函數是
A、是L可測函數
B、不是L可測函數
C、有界函數
D、連續(xù)函數
2.若f(x)為Lebesgue可積函數，則（ ）
A、f可測
B、|f|可積
C、f^2可積
D、|f|<∞.a.e.
3.在R上定義f，當x為有理數時f(x)=1，當x為無理數時f(x)=0，則（ ）
A、f在R上處處不連續(xù)
B、f在R上為可測函數
C、f幾乎處處連續(xù)
D、f不是可測函數
4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測
C、g<∞，a.e.
D、當g可測時g必可積
5.設fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A、fn測度收斂于|f|
B、afn+bgn測度收斂于af+bg
C、(fn)^2測度收斂于f^2
D、fngn測度收斂于fg
6.A，B是兩個集合，則下列正確的是（ ）
A、f^-1(f（A）)=A
B、f^-1(f（A）)包含A
C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
7.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A、f+g不可測
B、fg不可測
C、g^2可測
D、|g|可測
8.若f,g是有界變差函數，則（ ）
A、f+g有界變差函數
B、fg有界變差函數
C、f/g有界變差函數
D、max(f,g)有界變差函數
奧鵬，國開，廣開，電大在線，各省平臺，新疆一體化等平臺學習
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